Question

【題目】如圖，點A、B、C、D是直徑為AB的⊙O上的四個點，CD＝BC，AC與BD交于點E。

（1）求證：DC2＝CE·AC；

（2）若AE＝2EC，求之值；

（3）在（2）的條件下，過點C作⊙O的切線，交AB的延長線于點H，若S△ACH＝，求EC之長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）EC＝2

【解析】分析：(1)、根據題意得出△ACD和△DCE相似即可得出答案；(2)、設EC＝k，則AE＝2k，根據第一題的結論得出DC的長度，連接OC，OD，根據角平分線得出BD和DC的長度，根據Rt△ABC的性質得出AB的長度，從而得出∠BOD和∠DOA的度數，從而得出AD=AO，得出比值；(3)、設EC=k，根據切線的性質得出CG和AH的長度，最后根據△ACH的面積求出k的值．

詳解：（1）證明：∵CD＝BC，∴∠DAC＝∠CDB，又∵∠ACD=∠DCE，∴△ACD∽△DCE，

∴，∴DC2＝CE·AC；

（2）設EC＝k，則AE＝2k，∴AC＝3k，由（1）DC2＝CE·AC＝3k2，

DC=k，連接OC，OD， ∵CD＝BC，∴OC平分∠DOB，∴BC＝DC＝k，

∵AB是⊙O的直徑，∴在Rt△ACB中，，

∴OB=OC=OD=k，∴∠BOD＝120°，∴∠DOA＝60°，∴AD＝AO，∴ ；

（3）∵CH是⊙O的切線，連接CO，∴OC⊥CH．∵∠COH＝60°，∠H＝30°，

過C作CG⊥AB于G， 設EC=k，∵∠CAB＝30°，∴，

又∵∠H＝∠CAB＝30°，∴AC＝CH＝3k，∴AH＝，

∵S△ACH＝， ∴，∴k2＝4，k＝2，即EC＝2．