Question

【題目】平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AD，E、F、G分別是OC、OD，AB的中點．下列結論：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四邊形BEFG是菱形．
其中正確的是.

Answer 1

【答案】①②④
【解析】試題解析：令GF和AC的交點為點P，如圖

∵E、F分別是OC、OD的中點，
∴EF∥CD，且EF= CD，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
∴∠FEG=∠BGE（兩直線平行，內錯角相等），
∵點G為AB的中點，
∴BG= AB= CD=FE，
在△EFG和△GBE中，
，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF=∠GEB，
∴GF∥BE（內錯角相等，兩直線平行），
∵BD=2BC，點O為平行四邊形對角線交點，
∴BO= BD=BC，
∵E為OC中點，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG=∠EPG=90°
∵GP∥BE，G為AB中點，
∴P為AE中點，即AP=PE，且GP= BE，
在△APG和△EGP中，
，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG=EG= AB，
∴EG=EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四邊形BGFE為平行四邊形，
∴GF=BE，
∵GP= BE= GF，
∴GP=FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE=∠FPE=90°
在△GPE和△FPE中，
，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP=∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④成立．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．