Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F，連接BF交AC于點M，連接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，則下列結論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S四邊形DGOF=2：7．其中正確結論的個數是（ ）
A.4個
B.3個
C.2個
D.1個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：
①∵矩形ABCD中，O為AC中點，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正確；
②∵△BOC為等邊三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，BF=BF，
∴△BCF≌△BOF，
∴∠BOF=∠BCF=90°，
∴BO⊥EF，
∵BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB與△CMB不全等；
故②錯誤；
③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠1=30°，∠BEO=60°
∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF，
故③正確；
④易知△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF ，
∵S△COF=2S△CMF ，
∵∠FCO=30°，
∴FM= ，BM= CM，
∴ = ，
∴S△FOM：S△BOF=1：4，
易證△GEO≌△MFO，
∴S△GEO=S△MFO ，
易證明四邊形DEBF是平行四邊形，
∴S△DEF=S△EFB=2S△BOF，
設S△EGO=x，則S△AOE=2x，S△BOF=4x，
S四邊形DGOF=S△DEF﹣S△EGO=S△EFB﹣S△EGO=8x﹣x，
∴S△AOE：S四邊形DGOF=2x：（8x﹣x）=2：7，
故④正確；
所以其中正確結論的個數為3個；
故選B．
①利用線段垂直平分線的性質的逆定理可得結論；
②在△EOB和△CMB中，對應直角邊不相等，則兩三角形不全等；
③可證明∠CDE=∠DFE；
④設S△EGO=x，則S△AOE=2x，S△BOF=4x，可通過面積轉化進行解答．