Question

【題目】已知：如圖，菱形ABCD中，AB=10cm，BD=12cm，對角線AC與BD相交于點O，直線MN以1cm/s從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，運動過程中始終保持MN⊥BD，垂足是點P，過點P作PQ⊥BC，交BC于點Q．（0＜t＜6）
（1）求線段PQ的長；（用含t的代數式表示）
（2）設△MQP的面積為y（單位：cm2），求y與t的函數關系式；
（3）是否存在某時刻t，使線段MQ恰好經過點O？若存在求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=AB=10，OB=OD=6，BD⊥AC，

在Rt△BOC中，OC= = =8，

∴sin∠OBC= = ，

在Rt△PBQ中，∵PB=12﹣t，

sin∠PBQ= = ，

∴PQ= （12﹣t）= ﹣ t（0＜t＜6）

（2）

解：如圖2中，作QH⊥MN于H．

∵∠QPH+∠BPQ=90°，∠BPQ+∠CBO=90°，

∴∠QPH=∠CBO，

∴QH=PQsin∠QPH= （ ﹣ t），

易知PM= t，

∴y= PMQH= t （ ﹣ t）= ﹣ t（0＜t＜6）

（3）

解：如圖3中，連接QN．

當MQ經過點O時，易證△BOQ≌△DOM，

∴BQ=DM，OM=OQ，

∵PM=PN，

∴OP∥QN，NQ=2OP，

∴QN⊥MN，QN= （ ﹣ t），

∴ （ ﹣ t）=2（6﹣t），

解得t= ，

∴t= 時，MQ經過點O

【解析】【（1）如圖1中，在Rt△BOC中，OC= = =8，推出sin∠OBC= = ，在Rt△PBQ中，由PB=12﹣t推出sin∠PBQ= = ，即可求出PQ．（2）如圖2中，作QH⊥MN于H．求出QH、PM即可解決問題．（3）如圖3中，連接QN只要證明QM經過點O時，OP是△MQN的中位線，得到QN=2OP，由此列出方程即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對相似三角形的應用的理解，了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．