Question

17．關于x的方程-x²+2（k-1）x-k²+1=0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當k為何值時，方程的兩個實數根的平方和等于16？

Answer 1

分析 （1）由于關于x的方程-x²+2（k-1）x-k²+1=0有兩個不相等的實數根，根據方程的判別式大于0，由此即可確定k的取值范圍；
（2）首先根據一元二次方程根與系數的關系得到兩根之和與兩根之積，然后把兩個實數根的平方和變換兩根之和與兩根之積相關的形式，由此即可得到關于k的方程，解方程就可以求出k的值．

解答 解：（1）由題意得，△=（2（k-1））²-4（k²-1）=-8k+8＞0，
解得，k＜1，
故k的取值范圍：k＜1；

（2）設方程的兩根為x₁，x₂，
由x₁²+x₂²=（ x₁+x₂）²-2 x₁x₂=（2（k-1））²-2（k²-1）=2k²-8k+6=16，
解得，k=-1或5（舍去），
當k=-1時，方程的兩個實數根的平方和等于16．

點評 此題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系和一元二次方程根與系數的關系，綜合性比較強．第一小題通過利用一元二次方程根的情況與判別式△的關系得到關于k的不等式解決問題；第二小題通過利用一元二次方程根與系數的關系得到關于k的方程解決問題．