Question

6．如圖，已知A、B兩個村莊的坐標分別為（2，3），（6，4），一輛汽車從原點O出發在x軸上行駛．
（1）汽車行駛到什么位置時離A村最近？寫出此點的坐標；
（2）汽車行駛到什么位置時離B村最近？寫出此點的坐標；
（3）汽車行駛到什么位置時，距離兩村的和最短？請在圖中畫出這個位置，并求出此時汽車到兩村距離的和．

Answer 1

分析 （1）（2）由垂線段的性質求解即可；
（3）作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B交x軸與點C，點C即為所求，最后依據兩點間的距離公式求得A′B的距離即可．

解答 解：（1）由垂線段最短可知當汽車位于（2，0）處時，汽車距離A點最近；
（2）由垂線段最短可知當汽車位于（6，0）處時，汽車距離B點最近；
（3）如圖所示：點C即為所求．

∵由軸對稱的性質可知：AC=A′C，
∴AC+BC=A′C+BC=A′B=$\sqrt{（6-2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{65}$．

點評 本題主要考查的是軸對稱路徑最短、兩點間的距離公式、垂線段的性質，明確當點A′、C、B在一條直線上時點C到A、B兩點的距離之和最短時解題的關鍵．