Question

【題目】在等腰Rt△ABC中，CA=BA，∠CAB=90°，點M是AB上一點，

（1）點N為BC上一點，滿足∠CNM=∠ANB．

①如圖1，求證：；②如圖2，若點M是AB的中點，連接CM，求的值；

（2）如圖3，若AM=1，BM=2，點P為射線CA（除點C外）上一個動點，直線PM交射線CB于點D，猜測△CPD面積是否有最小值，若有，請求出最小值：若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②；（2）4.

【解析】分析：

（1）①由已知條件易得∠B=∠C，∠BNM=∠CAN，從而可得△BNM∽△CNA，由此可得BM：CA=BN：CN結合CA=AB即可得到所求結論；

②如下圖2，過點B作BH⊥BA交AN的延長線于點H，則結合已知條件易得△BMN≌△BHN，由此可得BH=BM=AM，從而可得△ACM≌△BAH，由此可得CM=AH=AN+NH=AN+NM，從而可得，結合由①中△BNM∽△CAN可得的：MN：AN=MB：AC=1：2即可求得所求比值；

（2）如下圖3，設點M是PD的中點，過點M作直線P′D′與射線CA，CB分別交于點P′，D′，則M不是P′D′中點，此時存在MD′＞MP′或MD′＜MP′兩種情況，在兩種情況下，分別證明S△P′CD′＞S△PCD即可說明當點M是PD中點時，△PCD的面積最小，然后，如下圖4，過點D作DH⊥AB于點H，證得△DHM≌△PAM，進一步證得△DBM和△PCD此時是等腰直角三角形，這樣結合題目中的已知數量即可求得此時△PCD的面積了.

詳解：

（1）① ∵CA=BA，∠CAB=90°，

∴∠C=∠B=45°，

∵∠CNM=∠ANB，

∴∠CNM﹣∠ANM=∠ANB﹣∠ANM，

∴∠ANC=∠BNM，

∴△CNA∽△BNM，

∴，

∵CA=BA，

∴；

② 作BH⊥BA交AN的延長線于H，

∵ 在△BMN和△BHN中，

∠MBN=∠HBN=45°，BN=BN，∠MNB=∠HNB，

∴△BMN≌△BHN，

則△ACM≌△BAH，

∴CM=AH=AN+NH=AN+NM，

由①△CNA∽△BNM，點M是AB的中點，

∴=2，

∴=；

（2）設點M是PD中點，過點M作直線P′D′與射線CA，CB分別交于點P′，D′，

則點M不是P′D′的中點，當MD′＞MP′時，在MD′上截取ME=MP′，連接DE，

則△MPP′≌△MDE，

∴S△P′CD′＞S四邊形P′CDE=S△PCD，

當 MD′＜MP′時，同理可得，S△P′CD′＞S△PCD，

∴當點M是PD中點，△CPD面積的最小．

如圖4，作DH⊥AB于H，

則△DHM≌△PAM．

∴AM=1，MH=1，BH=1，

∴△MDB是等腰直角三角形，

∴DH=BH=AP=1，∠PDC=90°，

∴△PCD是等腰直角三角形，CP=3+1=4，

∴△PCD的面積=4．