Question

【題目】在數學中，有許多關系都是在不經意間被發現的．當然，沒有敏銳的觀察力是做不到的．數學家們往往是這樣來研究問題的：特值探究–猜想歸納–邏輯證明–總結應用．下面我們也來像數學家們那樣分四步找出這兩個代數式的關系：對于代數式與．

特值探究：

當，時，________；________

當，時，________；________

猜想歸納：

觀察的結果，寫出與的關系：________．

邏輯證明：如圖，邊長為的正方形紙片剪出一個邊長為的小正方形之后，剩余部分（即陰影部分）又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），請你說說是如何用這個圖來得出中的關系？

總結應用：利用你發現的關系，求：

①若，且，則________；

②的值．（提示：你可能要用到公式）

Answer 1

【答案】4；4；16；16；

；

詳見解析；

①3；②.

【解析】

把與的值代入兩式計算即可得到結果；

歸納總結得出關系即可；

根據陰影部分面積不變，驗證即可；

①利用平方差公式計算即可得到結果；

②原式變形后，利用平方差公式計算即可得到結果.

特值探究：

當，時， ，；

當，時， ， ；

猜想歸納：

觀察的結果寫出與的關系： ；

邏輯證明：

如圖，邊長為的正方形紙片剪去一個邊長為的小正方形之后，剩余部分（即陰影部分）又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），

左圖中陰影部分面積為，右圖陰影部分面積為，

故；

總結應用：利用你發現的關系，求：

若，且，則，

原式