Question

【題目】在平面直角坐標系中，A(a，0)，C(0，c)且滿足：(a+6)2+＝0，長方形ABCO在坐標系中(如圖)，點O為坐標系的原點．

(1)求點B的坐標．

(2)如圖1，若點M從點A出發，以2個單位/秒的速度向右運動(不超過點O)，點N從原點O出發，以1個單位/秒的速度向下運動(不超過點C)，設M、N兩點同時出發，在它們運動的過程中，四邊形MBNO的面積是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍．

(3)如圖2，E為x軸負半軸上一點，且∠CBE＝∠CEB，F是x軸正半軸上一動點，∠ECF的平分線CD交BE的延長線于點D，在點F運動的過程中，請探究∠CFE與∠D的數量關系，并說明理由

Answer 1

【答案】(1)B(﹣6，﹣3)；(2)四邊形MBNO的面積不變；是定值9；(3)∠CFE＝2∠D.

【解析】

（1）根據題意可得a＝﹣6，c＝﹣3，則可求A點，C點，B點坐標；（2）設M、N同時出發的時間為t，則S四邊形MBNO＝S長方形OABC﹣S△ABM﹣S△BCN＝18﹣×2t×3﹣×6×（3﹣t）＝9．與時間無關．即面積是定值，其值為9；（3）根據三角形內角和定理和三角形外角等于不相鄰的兩個內角的和，可求∠CFE與∠D的數量關系．

解：(1)∵(a+6)2+＝0，

∴a＝﹣6，c＝﹣3

∴A(﹣6，0)，C(0，﹣3)

∵四邊形OABC是矩形

∴AO∥BC，AB∥OC，AB＝OC＝3，AO＝BC＝6

∴B(﹣6，﹣3)

(2)四邊形MBNO的面積不變．

設M、N同時出發的時間為t，

則S四邊形MBNO＝S長方形OABC﹣S△ABM﹣S△BCN＝18﹣×2t×3﹣×6×(3﹣t)＝9．與時間無關．

∴在運動過程中面積不變．是定值9

(3)∠CFE＝2∠D．

理由如下：如圖

∵∠CBE＝∠CEB

∴∠ECB＝180°﹣2∠BEC

∵CD平分∠ECF

∴∠DCE＝∠DCF

∵AF∥BC

∴∠F＝180°﹣∠DCF﹣∠DCE﹣∠BCE＝180°﹣2∠DCE﹣(180°﹣2∠BEC)

∴∠F＝2∠BEC﹣2∠DCE

∵∠BEC＝∠D+∠DCE

∴∠F＝2(∠D+∠DCE)﹣2∠DCE

∴∠F＝2∠D