Question

5．如圖，定義：若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交于A、B兩點，則線段AB的長度為雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的對徑．
（1）求雙曲線y=$\frac{1}{x}$的對徑．
（2）仿照上述定義，定義雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的對徑，并直接寫出y=-$\frac{3}{x}$的對徑．
（3）若雙曲線y=$\frac{k}{x}$的對徑是10$\sqrt{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 過A點作AC⊥x軸于C，
（1）先解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=x}\end{array}\right.$，可得到A點坐標為（1，1），B點坐標為（-1，-1），即OC=AC=1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$，則AB=2OA=2$\sqrt{2}$，于是得到雙曲線y=$\frac{1}{x}$的對徑；
（2）雙曲線y=$\frac{x}{k}$（k＜0）的一條對稱軸與雙曲線有兩個交點，根據題目中的定義易得到雙曲線y=$\frac{x}{k}$（k＜0）的對徑，同（1）的方法即可得出y=-$\frac{3}{x}$的對徑；
（3）根據雙曲線的對徑的定義得到當雙曲線的對徑為10$\sqrt{2}$，即AB=10$\sqrt{2}$，OA=5$\sqrt{2}$，根據OA=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$AC，則OC=AC=5，得到點A坐標為（5，5），把A（5，5）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）即可得到k的值；

解答 解：過A點作AC⊥x軸于C，如圖，
（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴A點坐標為（1，1），B點坐標為（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$，
∴AB=2OA=2$\sqrt{2}$，
∴雙曲線y=$\frac{1}{x}$的對徑是2$\sqrt{2}$；                  
（2）若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）與它的其中一條對稱軸y=-x相交于A、B兩點，
則線段AB的長度為雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的對徑．
同（1）的方法得出，y=-$\frac{3}{x}$的對徑為2$\sqrt{6}$．
（3）∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$的對徑為10$\sqrt{2}$，即AB=10$\sqrt{2}$，OA=5$\sqrt{2}$，
∴OA=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$AC，
∴OC=AC=5，
∴點A坐標為（5，5），或點A坐標為（-5，5）
把A（5，5）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）得k=5×5=25，即k的值為25；
把A（-5，5）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）得k=-5×5=-25，即k的值為-25；
即k的值為25或-25．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，新定義的理解，反比例函數圖象上點的坐標特征，點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式；等腰直角三角形的斜邊是直角邊的$\sqrt{2}$倍，難度適中．準確理解雙曲線對徑的定義是解題的關鍵．