Question

【題目】定義：點P（a，b）關于原點的對稱點為P'，以PP'為邊作等邊△PP'C，則稱點C為P的“等邊對稱點”；

（1）若P（1，），求點P的“等邊對稱點”的坐標．

（2）若P點是雙曲線y＝（x＞0）上一動點，當點P的“等邊對稱點”點C在第四象限時，

①如圖（1），請問點C是否也會在某一函數圖象上運動？如果是，請求出此函數的解析式；如果不是，請說明理由．

②如圖（2），已知點A（1，2），B（2，1），點G是線段AB上的動點，點F在y軸上，若以A、G、F、C這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點C的縱坐標yc的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（3，）；（2）①是，y＝﹣（x＞0）；②yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2

【解析】

（1）P（1，）則P'（﹣1，﹣），可求PP'＝4；設C（m，n），有PC＝P'C＝4，通過解方程可得m＝﹣n，再進行運算即可；

（2）①設P（c，）則P'（﹣c，﹣），可求PP'＝2 ；設C（s，t），有PC＝P'C＝2，通過解方程可得s＝﹣，t＝c，令 ，消元c即可得xy＝﹣6；

②當AG為平行四邊形的邊時，G與B重合時，為一臨界點通過平移可求得C（1，﹣6），yc≤﹣6；

當AG為平行四邊形的對角線時，G與B重合時，求得C（3，﹣2），G與A重合時，C（2，﹣3），此時﹣3＜yc≤﹣2．

解：（1）∵P（1，），

∴P'（﹣1，﹣），

∴PP'＝4，

設C（m，n），

∴等邊△PP′C，

∴PC＝P'C＝4，

∴ ，

∴m＝﹣n，

∴（﹣n﹣1）2+（n﹣）2＝16．

解得n＝或﹣，

∴m＝﹣3或m＝3．

如圖1，觀察點C位于第四象限，則C（﹣3，）．即點P的“等邊對稱點”的坐標是（3，）．

（2）①設P（c，），

∴P'（﹣c，﹣），

∴PP'＝2，

設C（s，t），

PC＝P'C＝2，

∴，

∴s＝﹣，

∴t2＝3c2，

∴t＝c，

∴C（﹣，c）或C（，﹣c），

∴點C在第四象限，c＞0，

∴C（，﹣c），

令，

∴xy＝﹣6，即y＝﹣（x＞0）；

②當AG為平行四邊形的邊時，G與B重合時，為一臨界點通過平移可求得C（1，﹣6），

∴yc≤﹣6；

當AG為平行四邊形的對角線時，G與B重合時，求得C（3，﹣2），

G與A重合時，C（2，﹣3），

此時﹣3＜yc≤﹣2，

綜上所述：yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2．