Question

如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經過點C，且圓的直徑AB在線段AE上．

（1）試說明CE是⊙O的切線；

（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數式表示⊙O的直徑AB；

（3）設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當CD+OD的最小值為6時，求⊙O的直徑AB的長．

Answer 1

解：（1）連接OC，如圖1，

∵CA=CE，∠CAE=30°，

∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，

∴∠OCE=90°，

∴CE是⊙O的切線；

（2）過點C作CH⊥AB于H，連接OC，如圖2，

由題可得CH=h．

在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，

∴h=OC•sin60°=OC，

∴OC==h，

∴AB=2OC=h；

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖3，

則∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．

∵OA=OF=OC，

∴△AOF、△COF是等邊三角形，

∴AF=AO=OC=FC，

∴四邊形AOCF是菱形，

∴根據對稱性可得DF=DO．

過點D作DH⊥OC于H，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，

∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，

∴CD+OD=DH+FD．

根據兩點之間線段最短可得：

當F、D、H三點共線時，DH+FD（即CD+OD）最小，

此時FH=OF•sin∠FOH=OF=6，

則OF=4，AB=2OF=8．

∴當CD+OD的最小值為6時，⊙O的直徑AB的長為8．