Question

【題目】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“和睦四邊形”，寓意是全世界和平共處，睦鄰友好，共同發展.如菱形，正方形等都是“和睦四邊形”.

（1）如圖1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求證:四邊形ABCD為“和睦四邊形”；

（2）如圖2，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P、Q分別是線段OA、AB上的動點.點P從點A出發,以每秒4個單位長度的速度向點O運動.點Q從點A出發,以每秒5個單位長度的速度向點B運動.P、Q兩點同時出發，設運動時間為t秒.當四邊形BOPQ為“和睦四邊形”時，求t的值；

（3）如圖3，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點，拋物線的頂點為點D.當四邊形COBD為“和睦四邊形”，且CD=OC.拋物線還滿足：①；②頂點D在以AB為直徑的圓上. 點是拋物線上任意一點，且.若恒成立，求m的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）

【解析】

（1）由BD平分∠ABC推出∠ABD=∠CBD，又AB∥BC，所以∠ADB=∠CBD，所以∠ABD=∠ADB，即AB=AD，所以四邊形ABCD為“和睦四邊形”； (2)分別求出 AQ、AP、BQ、OP、OB的值，連接PQ ，因為，所以，所以，根據勾股定理求出PQ，再分類討論t的值即可；（3）表示出點的坐標，由可得， 因為得出 所以，即，由①②的方程，且解出a、b的值，求出拋物線的解析式為，因為P在拋物線上，將P代入拋物線得，，可得當，又因為，所以，即，得出m的最小值為；

解：

（1）

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四邊形ABCD為“和睦四邊形”；

（2）由題意得：AQ=5 t ，AP=4 t ，BQ=10 - 5 t ，OP=8 - 4 t ，OB=6，連接PQ ，

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綜上：；

（3）由題意得：，

由①②，且，得，

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