Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知：△ABC的三個頂點的坐標分別是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0）．
（1）求AO、AB所在直線的函數解析式；
（2）在△AOB內可以作一個正方形CDEF，使它的三個頂點分別落在邊AO、AB上，E、F兩個頂點落在OB上，請求出這個正方形四個頂瞇的坐標，并在圖中畫出這個正方形；
（3）連接OC，在線段OC上任取一點P，過P作與x軸、y軸的不行線與OA、OB分別交于M、N兩點，過M作OB邊的垂線與OB交于H；你有什么發現？請寫出來，并說明理由．

Answer 1

解：（1）設OA所在直線的解析式為：y=k₁x，
把A（4，6）代入得4k₁=6，∴
∴AO所在直線的解析式為：
設AB所在直線的解析式為：y=k₂x+b，
把A（4，6）、B（6，0）代入得，
解得，
∴AB所在直線的解析式為：y=-3x+18．

（2）過A作AS⊥OB于S，交CD于T．
∵DC∥EF，
∴△ADC∽△AOB，
∴．
∵A（4，6），B（6，0），
∴OB=6，AS=6，，
∴AT=DC=TS=3，故可設D（x，3），
∵D（x，3）在的圖象上，
∴x=2，故D（2，3），
可設C點的坐標為（x，3）
∵CD=3，
∴x-2=3，即x=5，
∴C（5，3），
又∵是DE、CF都垂直于OB且DE=CF，
∴E、F兩點的坐標分別為：E（2，0）、F（5，0）．

（3）四邊形MHNP是矩形．
∵DC∥PM，PN∥FC
∴
∴．
又∵四邊形EFCG是正方形，DC=CF．
∴MP=NP，而MH⊥OB，PN⊥OB，
∴四邊形MHNP是正方形．
分析：（1）因為△ABC的三個頂點的坐標分別是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0），所以可設OA所在直線的解析式為：y=k₁x，把A（4，6）代入得到關于k₁的方程，解之即可；可設AB所在直線的解析式為：y=k₂x+b，把A（4，6）、B（6，0）代入得到關于k₂、b的方程組，解之即可；
（2）因為在△AOB內可以作一個正方形CDEF，使它的三個頂點分別落在邊AO、AB上，E、F兩個頂點落在OB上，所以可過A作AS⊥OB于S，交CD于T，利用DC∥EF，可得△ADC∽△AOB，利用相似三角形的對應邊的比等于相似比，可得，由點的坐標可知OB=6，AS=6，所以AT=DC=TS=3，故可設D（x，3），利用D（x，3）在的圖象上，求出x的值就求出了D的坐標；同樣可設C點的坐標為（x，3），因為CD=3，結合D的橫坐標可得到x-2=3，即x=5，就可求出C（5，3），根據CDEF是正方形，即可寫出E、F的坐標．
（3）因為DC∥PM∥HN，PN∥FC∥HM，可得，，MHNP是平行四邊形，利用四邊形EFCG是正方形，DC=CF，可得MP=NP，而MH⊥OB，PN⊥OB，所以四邊形MHNP是正方形．
點評：本題的解決需利用待定系數法、相似三角形的性質、正方形的判定這些知識，另外解決這類問題常用到數形結合、方程和轉化等數學思想方法．