Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點，，的坐標分別為，，．點和點分別從點和點同時出發沿軸正方向運動，同時點從點出發沿軸正方向運動，以，為鄰邊構造，已知點，的運動速度均為，點的運動速度為，運動時間為．過點的拋物線交軸于另一點（點在點的右側），，且該二次函數的最大值不變，均為．

（1）①當時，求的長；（用含的代數式表示）；②當時，求點的坐標；

（2）當時，試判斷點是否恰好落在拋物線上，并說明理由；

（3）若點關于直線的對稱點恰好落在拋物線上，請求出所有滿足條件的的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）不在拋物線上，見解析；（3）1

【解析】

（1）①分別表示出點P與點E的坐標，即可得到PE的表達式；②當時，可得E，P,D的坐標，結合，為鄰邊構造的性質，即可求解；

（2）線求出點P，H的坐標，設拋物線的表達式為：，利用待定系數法，求出二次函數解析式，再求出點F的坐標，代入函數解析式驗證，即可得到結論；

（3）先求出二次函數的解析式（含參數t），再分兩種情況：①當時，②當時，分別求出點Q的坐標，進而即可求出t的值．

（1）①∵點，的運動速度均為，點的運動速度為，運動時間為．

∴P(-8+2t，0)，E(-5+t，0)，

∵，

∴-8+2t＜-5+t，

∴；

②∵當時，E(1，0)，P(4，0)，D(0，4)，

∴EP=3，OD=4，

∵以，為鄰邊構造，如圖所示，

∴DF∥EP，DF=EP=3，

∴；

（2）∵當時，，

∴點坐標為，

∵，

∴點坐標為，

設拋物線的表達式為：，

把，代入，得，

∴，

當時，，，

∴點坐標為，

∵當時，，

∴點不在拋物線上；

（3）∵P(-8+2t，0)，H(-2+2t，0)，

∴拋物線的對稱軸為：直線x=-5+2t，

∵該二次函數的最大值為，

設，

把P(-8+2t，0)代入，解得：a=，

∴過點的拋物線的表達式為：，

① 當時，

連接PQ交FE的延長線于點M，連接QE，則∠PME=90°，

∵EF∥PD，

∴∠MPC=90°

∵P(-8+2t，0)，D(0，-8+2t)，

∴OP=OD，

∴∠OPD=45°，

∴∠MPE=45°，

由對稱性，可知：∠MPE=∠MQE=45°，PE=QE=3-t，

∴∠PEQ=180°-45°-45°=90°，

∴Q(-5+t，3-t)，

∵恰好落在拋物線上，

∴，解得：t1=1，t2=3（舍去），

②當時，

∵P(-8+2t，0)，E(-5+t，0)，

∴PE=t-3，

同理可得：∠PEQ=90°，∠MPE=∠MQE=45°，PE=QE=t-3，

∵Q在第三象限或第四象限，

∴Q(-5+t，3-t)，

∵恰好落在拋物線上，

∴，解得：t1=1（舍去），t2=3（舍去），

綜上所述：點關于直線的對稱點恰好落在拋物線上時，t的值為1．