Question

【題目】已知點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，線段OB的長是方程x2﹣2x﹣8=0的解，tan∠BAO=．

（1）求點A的坐標；

（2）點E在y軸負半軸上，直線EC⊥AB，交線段AB于點C，交x軸于點D，S△DOE=16．若反比例函數y=的圖象經過點C，求k的值；

（3）在（2）條件下，點M是DO中點，點N，P，Q在直線BD或y軸上，是否存在點P，使四邊形MNPQ是矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（-8，0）（2）k=- （3）（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）

【解析】

（1）解方程求出OB的長，解直角三角形求出OA即可解決問題；
（2）求出直線DE、AB的解析式，構建方程組求出點C坐標即可；
（3）分四種情形分別求解即可解決問題；

（1）∵線段OB的長是方程x2﹣2x﹣8=0的解，

∴OB=4，

在Rt△AOB中，tan∠BAO=，

∴OA=8，

∴A（﹣8，0）．

（2）∵EC⊥AB，

∴∠ACD=∠AOB=∠DOE=90°，

∴∠OAB+∠ADC=90°，∠DEO+∠ODE=90°，

∵∠ADC=∠ODE，

∴∠OAB=∠DEO，

∴△AOB∽△EOD，

∴，

∴OE：OD=OA：OB=2，設OD=m，則OE=2m，

∵m2m=16，

∴m=4或﹣4（舍棄），

∴D（﹣4，0），E（0，﹣8），

∴直線DE的解析式為y=﹣2x﹣8，

∵A（﹣8，0），B（0，4），

∴直線AB的解析式為y=x+4，

由 ，解得 ，

∴C（，），

∵若反比例函數y=的圖象經過點C，

∴k=﹣．

（3）如圖1中，當四邊形MNPQ是矩形時，∵OD=OB=4，

∴∠OBD=∠ODB=45°，

∴∠PNB=∠ONM=45°，

∴OM=DM=ON=2，

∴BN=2，PB=PN=，

∴P（﹣1，3）．

如圖2中，當四邊形MNPQ是矩形時（點N與原點重合），易證△DMQ是等腰直角三角形，OP=MQ=DM=2，P（0，2）；

如圖3中，當四邊形MNPQ是矩形時，設PM交BD于R，易知R（﹣1，3），可得P（0，6）

如圖4中，當四邊形MNPQ是矩形時，設PM交y軸于R，易知PR=MR，可得P（2，6）．

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）；