Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點D，E是位于AB兩側的半圓AB上的動點，射線DC切⊙O于點D．連接DE，AE，DE與AB交于點P，F是射線DC上一動點，連接FP，FB，且∠AED＝45°．

（1）求證：CD∥AB；

（2）填空：

①若DF＝AP，當∠DAE＝_________時，四邊形ADFP是菱形；

②若BF⊥DF，當∠DAE＝_________時，四邊形BFDP是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）① 67.5°,②90°.

【解析】試題分析：（1）連接OD，根據切線的性質可得OD⊥CD，再由圓周角定理可得∠AOD=90°，即可得證；

（2）①根據菱形的性質和等腰三角形的性質求得∠ADP，在△ADE中利用三角形的內角和定理求得∠DAE的度數即可；

②判斷四邊形BFDP是正方形時，當DE是⊙O的直徑即可求得∠DAE.

試題解析：（1）連接OD，∵射線DC切⊙O于點D，

∴OD⊥CD，

∵∠AED ＝ 45°，

∴∠AOD ＝ 2∠AED ＝ 90°，

即∠ODF ＝ ∠AOD ，

∴CD∥AB；

（2）①∵四邊形ADFP是菱形，∴AD=AP，

∵在Rt△AOD中，OA=OD，∴∠DAO=45°，∴∠ADP=∠APD=（180°-45°）÷2=67.5°，

∴在△ADE中，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-67.5°-45°=67.5°，

故答案為：67.5°；

②當BF⊥DF，DE⊥AB是四邊形BFDP是正方形，

由題意可知，DE⊥AB時，DE經過⊙O的圓心，∴DE是⊙O的直徑，∴∠DAE=90°，

故答案為：90°.