Question

【題目】如圖，邊長為4的等邊三角形AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限．點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，點C隨點P的運動而運動，連接CP、CA．過點P作PD⊥OB于D點

（1）直接寫出BD的長并求出點C的坐標（用含t的代數式表示）
（2）在點P從O向A運動的過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
（3）點P從點O運動到點A時，點C運動路線的長是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△AOB是等邊三角形，

∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．

∵PD⊥OB，

∴∠PDO=90°，

∴∠OPD=30°，

∴OD= OP．

∵OP=t，

∴OD= t，

∴BD=4﹣ t．

在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD= t，

如圖（1），過C作CE⊥OA于E，

則∠PEC=90°，

∵線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，

∴∠BPC=60°．

∵∠OPD=30°，

∴∠BPD+∠CPE=90°．

∴∠DBP=∠CPE

∴△PCE∽△BPD，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴CE= ，PE=2﹣ ，

∴OE=OP+PE=2+ ，

∴C（2+ ， ）

（2）解：如圖（3），當∠PCA=90度時，作CF⊥PA，

∴△PCF∽△ACF，

∴ = ，

∴CF2=PFAF，

∵PF=2﹣ t，AF=4﹣OF=2﹣ t，CF= t，

∴（ t）2=（2﹣ t）（2﹣ t），

解得t=2，

此時P是OA的中點．

如圖（2），

當∠CAP=90°時，C的橫坐標就是4，

∴2+ t=4，

解得t=

（3）解：設C（x，y），

∴x=2+ t，y= t，

∴y= x﹣ ，

∴C點的運動痕跡是一條線段（0≤t≤4）．

當t=0時，C1（2，0），

當t=4時，C2（5， ），

∴由兩點間的距離公式得：C1C2=2 ．

故點C運動路線的長為：2

【解析】（1）利用30度角的性質和旋轉性質、相似三角形性質，即△PCE∽△BPD，對應邊成比例可求出C坐標；（2）可先假設△PCA能成為直角三角形，分類討論，當∠PCA=90度時或∠CAP=90°，可利用相似性質列出對應邊成比例式子，進行求解;（3）可設出設C（x，y），構建參數方程x=2+ t，y= t，消去參數即可得到y= x﹣ .