Question

在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數y=-x²-2x+3的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D、C關于拋物線的對稱軸對稱．
（1）求四邊形ABCD的面積；
（2）在y軸上找一點P，使△ABP是直角三角形，并求出點P的坐標．

Answer 1

（1）設y=0，則y=-x²-2x+3=0，
解得：x=-3或1，
∵點A在點B的左側，
∴A（-3，0），B（1，0），
設x=0，則y=3，
∴C（0，3），
∵拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

=-1，
∴D（-2，3），
∵點D、C關于拋物線的對稱軸對稱，
∴四邊形ABCD為梯形，
∴S_ABCD=

(AB+DC)×OC

2

=

4×3

2

=6；
（2）如圖所示：依AB為直徑畫圓，交y軸于點P，
∵AB為圓的直徑，
∴∠APB=90°，
∴三角形APC是直角三角形，
∵OP⊥AB，
∴OP²=AO•BO=3×1=3，
∴OP=

3

，
∴點P（0，

3

）或（0，-

3

）．