Question

【題目】如圖所示，是的外接圓，為直徑，的平分線交O于點D，過點D作，分別交，的延長線于點E，F．

（1）求證：是的切線；

（2）填空：

①當的度數為_________時，四邊形為菱形；

②若的半徑為，，則的長為_________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①60°；②4

【解析】

（1）連接OD，證OD∥AE，從而得出OD⊥EF，從而證切線；

（2）①當∠BAC=60°時，可得到AC=OD，又根據AC∥OD，可得四邊形ACDO是平行四邊形，根據AO=OD，可得平行四邊形ACDO是菱形；

②如下圖，設CE=x，則AC=3x，先證△OGB∽△ACB，得出OG=，再利用OG+CE=OD推導得出x的值，最后在Rt△OGB中，求得GB的長，進而得出CB的長．

（1）如下圖，連接OD

∵AO=OD，∴∠OAD=∠ODA

∵AD是∠EAB的角平分線，∴∠EAD=∠DAO

∴∠ADO=∠EAD

∴AE∥OD

∵AE⊥EF

∴OD⊥EF

∴是的切線；

（2）①當∠BAC=60°時，四邊形ACDO是菱形

如下圖，連接CD

∵AB是的直徑，∴∠ACB=90°

∵∠CAB=60°

∴∠ABC=30°

∴在Rt△ABC中，AC=，即AC=AO=OB

∵AO=OD

∴AC=OD

∵AC∥OD，∴四邊形ACDO是平行四邊形

∵AO=OD

∴平行四邊形ACDO是菱形；

②如下圖，OD與AB交于點G

設CE=x，則AC=3x

∵OD∥AE，∠ACB=90°

∴∠OGB=∠ACB=90°

∴根據垂徑定理，CG=GB

∵∠OBG=∠ABC

∴△OBG∽△ABC

∴，∴OG=

∵OD=OG+GD=OG+CE，∴OD==

∴x=1

∴在Rt△OGB中，OB=，OG=，則GB=2

∴CG=2，CB=4．