Question

【題目】邊長為4的正方形ABCD中，點E是BC邊上的一個動點，連接DE，交AC于點N，過點D作DF⊥DE，交BA的延長線于點F，連接EF，交AC于點M．

（1）判定△DFE的形狀，并說明理由；

（2）設CE=x，△AMF的面積為y，求y與x之間的函數關系式；并求出當x為何值時y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）△DFE為等腰直角三角形，理由見解析；（2）當時，y有最大值1

【解析】

（1）先判斷出∠FDA=∠CDE，證得△ADF≌△CDE，即可得出結論；
（2）分兩種情況，利用平行線分線段成比例定理得出比例式表示出AF邊上的高，即可得出結論；

（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=∠DCB=∠DAB =90°，

∵∠FDE=∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠ADE =∠CDE+∠ADE=90°，

∴∠ADF=∠CDE，

在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE，

∴DF=DE，

∴△DFE為等腰直角三角形；

（2）過M作MG⊥AB于G，

設MG=h，

又∵∠GAM =45°，

∴AG =MG=h，由（1）知FA=CE =，

∵CB⊥AB，

∴MG//BC，

∴，即，

∴h=，

∴；

即，

∵，

∴當時，有最大值1；