Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相較于點F．

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）或

【解析】

（1）根據同旁內角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）分①BC=BD時，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；②BC=CD時，過點C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再根據矩形的對邊相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計算即可得解；③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾．

（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE=∠DFE，

在△BEC與△FED中， ，

∴△BEC≌△FED，

∴BE=FE，

又∵E是邊CD的中點，

∴CE=DE，

∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）①BC=BD=3時，由勾股定理得，AB= ==2，

所以，四邊形BDFC的面積=3×2=6；

②BC=CD=3時，過點C作CG⊥AF于G，

則四邊形AGCB是矩形，

所以，AG=BC=3，

所以，DG=AG-AD=3-1=2，

由勾股定理得，CG===，

所以，四邊形BDFC的面積=3×=3；

③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時不成立；

綜上所述，四邊形BDFC的面積是6或3．