Question

【題目】如圖，已知 AD 為△ABC 的高線，AD=BC，以 AB 為底邊作等腰 Rt△ABE，連接 ED， EC，延長CE 交AD 于F 點，下列結論：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正確的有（ ）

A. ①③B. ①②④C. ①②③④D. ②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①易證∠CBE=∠DAE，即可求證：△ADE≌△BCE；②根據①結論可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解題；③證明△AEF≌△BED即可；④易證△FDC是等腰直角三角形，則CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．

∵AD為△ABC的高線，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
在△DAE和△CBE中，

∴△ADE≌△BCE（SAS）；
故①正確；
②∵△ADE≌△BCE，
∴∠EDA=∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE；
故②正確；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，
∴∠BDE=∠AFE，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF，
在△AEF和△BED中，

∴△AEF≌△BED（AAS），
∴BD=AF；
故③正確；
④∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S△AEF=S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故④正確；
綜上①②③④都正確，故選：C．