Question

（2008•蘇州）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．動點P從D點出發沿DC以每秒1個單位的速度向終點C運動，動點Q從C點出發沿CB以每秒2個單位的速度向B點運動．兩點同時出發，當P點到達C點時，Q點隨之停止運動．
（1）梯形ABCD的面積等于______；
（2）當PQ∥AB時，P點離開D點的時間等于______秒；
（3）當P，Q，C三點構成直角三角形時，P點離開D點多少時間？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知梯形各邊的長，用勾股定理易求高以及其面積；
（2）本題要找出線段之比，設要用x秒后PQ∥AB，已知，求出x的值即可；
（3）本題有兩種情況．當PQ⊥BC，利用求解．第二種是當QP⊥CD時，設P點離開D點x秒，利用線段比求解．
解答：解：（1）36；

（2）分別延長BA和CD，交于點N，
則NA：NB=AD：BC，即
=
NA=5，則ND=NA=5．
設用了x秒PQ∥AB，則DP=x，PC=5-x，CQ=2x．
PC：CN=CQ：CB，
，x=．
即當PQ∥AB時，P點離開D點的時間等于秒；

（3）當P，Q，C三點構成直角三角形時，有兩種情況：

①當PQ⊥BC時，設P點離開D點x秒，
作DE⊥BC于E，∴PQ∥DE．
∴，
∴
∴當PQ⊥BC時，P點離開D點秒．
②當QP⊥CD時，設P點離開D點x秒
∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C．
∴△QPC∽△DEC
∴

∴
∴當QP⊥CD時，點P離開點D秒．
由①②知，當P，Q，C三點構成直角三角形時，點P離開點D秒或秒．
點評：本題涉及大量的線段比以及要靠輔助線的幫助才能求解，有一定難度，需認真分析．