Question

（2008•蘇州）如圖，拋物線y=a（x+1）（x-5）與x軸的交點為M，N．直線y=kx+b與x軸交于P（-2，0），與y軸交于C．若A，B兩點在直線y=kx+b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D為線段MN的中點，OH為Rt△OPC斜邊上的高．
（1）OH的長度等于______；k=______，b=______；
（2）是否存在實數a，使得拋物線y=a（x+1）（x-5）上有一點E，滿足以D，N，E為頂點的三角形與△AOB相似？若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點（簡要說明理由）；并進一步探索對符合條件的每一個E點，直線NE與直線AB的交點G是否總滿足PB•PG＜10，寫出探索過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知在等腰直角三角形中解出OH的長，因直線過頂點和OH長等于點到直線距離，聯立方程求出k，b；
（2）思維要嚴密，分兩類情況：①若DN為等腰直角三角形的直角邊；②若DN為等腰直角三角形的斜邊．
根據相似的比例關系和幾何關系，作適合的輔助線，構造垂直從而驗證相似比例關系是否成立．
解答：解：（1）∵直線y=kx+b過P（-2，0）?-2k+b=0…①
∵AO=BO=，AO⊥BO?三角形AOB為等腰直角三角形，
AB==2?∠OAB=45°?OH=OA×sin45°=1，
∵OH==1…②
由①②方程解得：k=，b=，OH=1．

（2）設存在實數a，使拋物線y=a（x+1）（x-5）上有一點E，滿足以D，N，E為頂點的三角形與等腰直角△AOB相似．
∴以D，N，E為頂點的三角形為等腰直角三角形，且這樣的三角形最多只有兩類，一類是以DN為直角邊的等腰直角三角形，另一類是以DN為斜邊的等腰直角三角形．
①若DN為等腰直角三角形的直角邊，則ED⊥DN．
在拋物線y=a（x+1）（x-5）中，令y=0，解得x=-1或5，則得：M（-1，0），N（5，0）．
∴D（2，0），
∴ED=DN=3．
∴E的坐標為（2，3）．
把E（2，3）代入拋物線解析式y=a（x+1）（x-5），得：a（2+1）（2-5）=3，解得a=-．
∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-5）．
即y=-x²+x+．

②若DN為等腰直角三角形的斜邊，
則DE⊥EN，DE=EN．
∴E的坐標為（3.5，1.5）．
把E（3.5，1.5）代入拋物線解析式y=a（x+1）（x-5）得：a（3.5+1）（3.5-5）=1.5，解得a=-．
∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-5），
即y=-x²+x+．
當a=-時，在拋物線y=-x²+x+上存在一點E（2，3）滿足條件，
如果此拋物線上還有滿足條件的E點，不妨設為E′點，那么只有可能△DE′N是以DN為斜邊的等腰直角三角形，
由此得E′（3.5，1.5），顯然E′不在拋物線．
y=-x²+x+上，
因此拋物線y=-x²+x+上沒有符合條件的其他的E點．
當a=-時，同理可得拋物線y=-x²+x+上沒有符合條件的其他的E點．
當E的坐標為（2，3），對應的拋物線解析式為y=-x²+x+時，
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，
∴∠GNP=∠PBO=45°．
又∵∠NPG=∠BPO，
∴△NPG∽△BPO．
∴，
∴PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴總滿足PB•PG＜10．
當E的坐標為（3.5，1.5），解得對應的拋物線解析式為y=-x²+x+時，
同理可證得：PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴總滿足PB•PG＜10．
點評：此題考查在直角三角形中解題技巧，通過解方程組來求拋物線解析式，第二問探究三角形相似問題，考查思維的嚴密性，不要漏掉其它情況，學會分類討論．