Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=6cm，D是BC的中點.點E從A出發，以acm/s(a＞0)的速度沿AC勻速向點C運動；點F同時以1cm/s的速度從點C出發，沿CB勻速向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，過點E作AC的垂線，交AD于點G，連接EF，FG，設它們運動的時間為t秒(t≥t0).

(1)若t=2，△CEF∽△ABC，求a的值；

(2)當a=時，以點E、F、D、G為頂點點四邊形時平行四邊形，求t的值；

(3)若a=2，是否存在實數t，使得點△DFG是直角三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3)t=，△DFG是直角三角形．

【解析】

（1）根據相似三角形的性質，建立比例關系，進而求解.（2）根據相似三角形的定義證明△AEG∽△ACD，進而得到 ，求得EG的值，再根據題意求出t的取值.（3）根據題意及勾股定理，再結合（2）中△AEG∽△ACD，得到 ，最后分情況討論，得出t=，△DFG是直角三角形.

(1)∵t=2，

∴CF=2厘米，AE=2a厘米，

∴EC=(4﹣2a ) 厘米，

∵△ECF∽△BCA．

∴．

∴

∴．

(2)由題意，AE=t厘米，CD=3厘米，CF=t厘米．

∵EG∥CD

∴△AEG∽△ACD．

∴，

∴EG=．

∵以點E、F、D、G為頂點的四邊形是平行四邊形

∴EG=DF．

當0≤t＜3時，

∴．

當3＜t≤6時，

∴．

綜上，或.

(3)∵點D是BC中點

∴CD=BC=3，

在Rt△ACD中，根據勾股定理得，AD=5，

由題意，AE=2t厘米，CF=t厘米，

由(2)知，△AEG∽△ACD，

∴，

∴

∴AG=厘米，EG=，DF=3﹣t厘米，DG=5﹣(厘米)．

若∠GFD=90°，則EG=CF，=t．

∴t=0，(舍去)(11分)若∠FGD=90°，則△ACD∽△FGD．

∴，

∴．

∴t=．

綜上：t=，△DFG是直角三角形．