Question

【題目】已知：如圖，四邊形的對(duì)角線(xiàn)、相交于點(diǎn)，.

（1）求證：；

（2）設(shè)的面積為，，求證：S四邊形ABCD.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由S△AOD=S△BOC易得S△ADB=S△ACB，根據(jù)三角形面積公式得到點(diǎn)D和點(diǎn)C到AB的距離相等，則CD∥AB，于是可判斷△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到結(jié)論；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．

（1）∵S△AOD=S△BOC，
∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB，即S△ADB=S△ACB，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△BOA，
∴ ；
（2）∵△DOC∽△BOA
∴ ＝k，2=k2，
∴DO=kOB，CO=kAO，S△COD=k2S，
∴S△AOD=kS△OAB=kS，S△COB=kS△OAB=kS，
∴S四邊形ABCD=S+kS+kS+k2S=（k+1）2S．