Question

【題目】（2017貴州省遵義市）如圖，拋物線（a＜0，a、b為常數(shù)）與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線AB的函數(shù)關(guān)系式為．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)M（m，0）是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時(shí)，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？

（3）在（2）問條件下，當(dāng)△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)位置記為點(diǎn)M′，將OM′繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON（旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間）；

①探究：線段OB上是否存在定點(diǎn)P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉(zhuǎn)，始終保持不變，若存在，試求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

②試求出此旋轉(zhuǎn)過程中，（NA+NB）的最小值．

Answer 1

【答案】（1），C（1，0）；（2）m=﹣4；（3）①存在，P（0，3）；②．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件得到B，A的坐標(biāo)，解方程組得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式，令y=0，于是得到C的坐標(biāo)；

（2）由點(diǎn)M（m，0），過點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，得到D（m，），當(dāng)DE為底時(shí)，作BG⊥DE于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=GD=ED，GM=OB=，列方程即可得到結(jié)論；

（3）①根據(jù)已知條件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的當(dāng)△NOP∽△BON時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；

②根據(jù)題意得到N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由①知，，得到NP=NB，于是得到（NA+NB）的最小值=NA+NP，此時(shí)N，A，P三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理得到結(jié)論．

試題解析：（1）在中，令x=0，則y=，令y=0，則x=﹣6，

∴B（0，），A（﹣6，0），

把B（0，），A（﹣6，0）代入得：，

∴，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：，

令y=0，則=0，

∴x1=﹣6，x2=1，

∴C（1，0）；

（2）∵點(diǎn)M（m，0），過點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，

∴D（m，），

當(dāng)DE為底時(shí)，作BG⊥DE于G，則EG=GD=ED，GM=OB=，

∴=，解得：m1=﹣4，m2=9（不合題意，舍去），

∴當(dāng)m=﹣4時(shí)，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形；

（3）①存在，

∵ON=OM′=4，OB=，

∵∠NOP=∠BON，

∴當(dāng)△NOP∽△BON時(shí)，，

∴不變，即OP==3，

∴P（0，3）；

②∵N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由①知，，

∴NP=NB，

∴（NA+NB）的最小值=NA+NP，

∴此時(shí)N，A，P三點(diǎn)共線，

∴（NA+NB）的最小值==．