Question

如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O逆時針旋轉120°至OB的位置．
（1）求點B的坐標；
（2）求經過點A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，過點B作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，
∴點B的坐標是（-2，2）．

（2）∵拋物線過原點O和點A、B，
∴可設拋物線解析式為y=ax²+bx，
將A（4，0），B（-2，2）代入，得，
解得：
∴此拋物線的解析式為y=．

（3）存在．
如圖，拋物線的對稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點為D，
設點P的坐標為（2，y），
①若OB=OP，
則2²+|y|²=4²，解得y=±2．
當y=-2時，在Rt△POD中，∠POD=90°，
sin∠POD=．
∴∠POD=60°．
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P，O，B三點在同一條直線上，
∴y=-2不符合題意，舍去，
∴點P的坐標為（2，2）．
②若OB=PB，則4²+|y-2|²=4²，解得y=2．
∴點P的坐標是（2，2）．
③若OP=PB，則2²+|y|²=4²+|y-2|²，解得y=2．
∴點P的坐標是（2，2）．
綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2，2）．
分析：（1）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，在Rt△BOC中解直角三角形可得出點B的坐標；
（2）設出拋物線解析式，利用待定系數法求出拋物線解析式即可．
（3）設點P的坐標為（2，y），分三種情況討論，①OB=OP，②OB=PB，③OP=PB，分別求出y的值，即可得出點P的坐標．
點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了待定系數法求二次函數解析式、解直角三角形及等腰三角形的性質，難點在第三問，關鍵是分類討論，避免漏解．