Question

已知：如圖，點I在x軸上，以I為圓心、r為半徑的半圓I與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點D，順次連接I、D、B三點可以組成等邊三角形．過A、B兩點的拋物線y=ax²+bx+c的頂點P也在半圓I上．
（1）證明：無論半徑r取何值時，點P都在某一個正比例函數的圖象上．
（2）已知兩點M（0，-1）、N（1、0），且射線MN與拋物線y=ax²+bx+c有兩個不同的交點，請確定r的取值范圍．
（3）請簡要描述符合本題所有條件的拋物線的特征．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線過A、B兩點，得到拋物線的對稱軸在過I且垂直x軸的直線上，根據等邊△BID和三角形的內角和定理求出∠IDO=30°，推出OI=

1

2

r，即可得出頂點P在直線y=2x上；
（2）設直線MN的解析式是y=kx+b，把M（0，-1），N（1，0）代入得到方程組

-1=b 0=k+b

，求出方程組的解即可得出直線y=x-1，設y=ax²+bx+c=a（x-

3

2

r）（x+

1

2

r），把P（

1

2

r，-r）代入求出a=-

1

r

，把y=x-1代入y=-

1

r

（x-

3

2

r）（x+

1

2

r）得出方程-

1

r

x²+

3

4

r+1=0，求出b²-4ac的值即可；
（3）根據拋物線的圖象即可得到開口向上，與X軸有兩個交點且一個在X軸的正半軸上，一個在X軸的負半軸上，拋物線的頂點在直線y=2x上．

解答：（1）證明：∵拋物線過A、B兩點，
∴拋物線的對稱軸在過I且垂直x軸的直線上，
∵△BID是等邊三角形，
∴∠BID=60°，
∵X軸⊥Y軸，
∴∠IOD=90°，
∴∠IDO=30°，
∴OI=

1

2

r，
∴頂點P的坐標是（

1

2

r，-r），
∴P在直線y=-2x上．

（2）解：設直線MN的解析式是y=kx+b，
把M（0，-1），N（1，0）代入得：

-1=b 0=k+b

，
解得：k=1，b=-1，
∴y=x-1，
∵y=ax²+bx+c=a（x-

3

2

r）（x+

1

2

r），
把P（

1

2

r，r）代入得：r=a（

1

2

r-

3

2

r）（

1

2

r+

1

2

r），
∴a=-

1

r

，
把y=x-1代入y=-

1

r

（x-

3

2

r）（x+

1

2

r）得：-

1

r

x²+

3

4

r+1=0，
b²-4ac=-4（-

1

r

）（

3

4

r+1）＞0，
∴r＜

4

3

，
∵M（0，-1），
∴r＜1．
答：r的取值范圍是r＜1．

（3）答：符合本題所有條件的拋物線的特征是開口向上，與X軸有兩個交點且一個在x軸的正半軸上，一個在X軸的負半軸上，拋物線的頂點在直線y=2x上．

點評：本題主要考查對用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，解二元一次方程組，二次函數的性質，等邊三角形的性質，三角形的內角和定理，含30度角的直角三角形的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．