Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺在邊BC上求作一點P，使PA=PB，并連接AP；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）當AC=3，AB=5時，△ACP的周長=7；
（3）當∠B為度時，AP平分∠CAB．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分線交BC于P點；
（2）先利用勾股定理計算出BC=4，然后利用PA=PB可得到△ACP的周長=AC+BC=7；
（3）利用PA=PB得到∠PAB=∠B，利用AP平分∠BAC得到∠CAP=∠BAP，則∠BAC=2∠B，然后根據三角形內角和可求出∠B的度數．

解答 解：（1）如圖，點P為所作；

（2）在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵PA=PB，
∴△ACP的周長=AC+PC+AP=AC+CP+PB=AC+BC=3+4=7；
故答案為7；
（3）∵PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP，
∴∠BAC=2∠B，
∵∠BAC+∠B=90°，
∴∠B=30°，
即∠B為30度時，AP平分∠CAB．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．