Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+2過B（﹣2，6），C（2，2）兩點．

（1）記拋物線頂點為D，求△BCD的面積；

（2）若直線y=﹣x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點B、C）部分有兩個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）3 （2）＜b≤3．

【解析】（1）根據待定系數法即可解決問題．求出直線BC與對稱軸的交點H，根據S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解決問題．

（2）由，當方程組只有一組解時求出b的值，當直線y=﹣x+b經過點C時，求出b的值，當直線y=﹣x+b經過點B時，求出b的值，由此即可解決問題．

解：（1）由題意解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x+2．

∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．

∴頂點坐標（1，），

∵直線BC為y=﹣x+4，∴對稱軸與BC的交點H（1，3），

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=×（3-）3+×（3-）1=3．

（2）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，

當△=0時，直線與拋物線相切，1﹣4（4﹣2b）=0，

∴b=，

當直線y=﹣x+b經過點C時，b=3，

當直線y=﹣x+b經過點B時，b=5，

∵直線y=﹣x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點B、C）部分有兩個交點，

∴＜b≤3．

“點睛”本題考查待定系數法確定二次函數解析式、二次函數性質等知識，解題的關鍵是求出對稱軸與直線BC交點H坐標，學會利用判別式確定兩個函數圖象的交點問題，屬于中考常考題型．