Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO，CO分別在x軸，y軸上，A點的坐標為（﹣8，6），點P在矩形ABOC的內部，點E在BO邊上，滿足△PBE∽△CBO，當△APC是等腰三角形時，P點坐標為_____．

Answer 1

【答案】或.

【解析】

由題意得出P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；

①當P點在AC的垂直平分線上時，點P同時在BC上，AC的垂直平分線與BO的交點即是E，證出PE∥CO，則△PBE∽△CBO，由已知得出點P橫坐標為﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，由相似對應邊成比例得出PE＝3即可得出結果；

②P點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點為P，過點P作PE⊥BO于E，證出PE∥CO，則△PBE∽△CBO，由已知得出AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，由勾股定理得出BC＝＝10，則BP＝2，由相似對應邊成比例得出PE＝，BE＝，則OE＝即可得出結果．

解：∵點P在矩形ABOC的內部，且△APC是等腰三角形，

∴P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；

①當P點在AC的垂直平分線上時，點P同時在BC上，AC的垂直平分線與BO的交點即是E，如圖1所示：

∵PE⊥BO，CO⊥BO，

∴PE∥CO，

∴△PBE∽△CBO，

∵四邊形ABOC是矩形，A點的坐標為（﹣8，6），

∴點P橫坐標為﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，

∵△PBE∽△CBO，

∴＝，即＝，

解得：PE＝3，

∴點P（﹣4，3）；

②P點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點為P，

過點P作PE⊥BO于E，如圖2所示：

∵CO⊥BO，

∴PE∥CO，

∴△PBE∽△CBO，

∵四邊形ABOC是矩形，A點的坐標為（﹣8，6），

∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，

∴BC＝＝＝10，

∴BP＝2，

∵△PBE∽△CBO，

∴＝＝，即：＝＝，

解得：PE＝，BE＝，

∴OE＝8﹣＝，

∴點P（﹣，）；

綜上所述：點P的坐標為：（﹣，）或（﹣4，3）；

故答案為（﹣，）或（﹣4，3）．