Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交A（﹣1，0）B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A，C兩點，其中C點的橫坐標為2．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AC的函數表達式；
（3）若點M是線段AC上的點（不與A，C重合），過M作MF∥y軸交拋物線于F，交x軸于點H，設點M的橫坐標為m，連接FA，FC，是否存在m，使△AFC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=x2+bx﹣c，可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：把x=2代入拋物線解析式可得y=22﹣2×2﹣3=﹣3，

∴C（2，﹣3），

設直線AC的解析式為y=kx+s，把A、C坐標代入可得， ，解得 ，

∴直線AC解析式為y=﹣x﹣1

（3）

解：存在m，使△AFC的面積最大．

理由如下：

∵點M在直線AC上，

∴M（m，﹣m﹣1），

∵點F在拋物線上，

∴F（m，m2﹣2m﹣3），

∵點M是線段AC上的點，

∴MF=（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2，

∵A（﹣1，0），C（2，﹣3），

∴S△ACF= MF[2﹣（﹣1）]= MF= （﹣m2+m+2）=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當m= 時，△AFC的面積最大，最大為值為

【解析】（1）把A、B坐標代入拋物線解析式可求得b、c的值，可求得拋物線解析式；（2）由C點橫坐標可求得C點坐標，利用待定系數法可求得直線AC的函數表達式；（3）用m可出M的坐標，則可表示出F的坐標，從而可表示出MF的長，表示出△AFC的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值時的m．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的圖象和性質的相關知識，掌握一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．