Question

【題目】如圖，AB=AC=8，∠BAC=90，直線l與以AB為直徑的⊙O相切于點B，點D是直線l上任意一動點，連結DA交⊙O點E．

（1）當點D在AB上方且BD=6時，求AE的長；

（2）當CE恰好與⊙O相切時，求BD的長為多少？

Answer 1

【答案】（1）AE=；（2）BD= 4．

【解析】

（1）連接BE，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD的長，進而利用直角三角形等面積求出BE的長，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求出AE的長。

（2）連接OC，證明△ABD≌△CAO，根據全等三角形的性質即可求出BD的長.

解：（1）∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

∵BD為切線，

∴AB⊥BD，

∴∠ABD=90°，

在Rt△ABD中，

∵

∴

在Rt△ABE中，

（2）連接OC，如圖，

∵∠BAC=90°，

∴CA為⊙O的切線，

∵CE為⊙O的切線，

∴CA=CE，

而OA=OE，

∴OC垂直平分AE，

∴∠1+∠3=90°，

而∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

而AB=CA，∠CAO=∠ABD，

∴△ABD≌△CAO，

∴BD=AO=4．