Question

已知A（-1，0），B（0，-3），點C與點A關于坐標原點對稱，經過點C的直線與y軸交于點D，與直線AB交于點E．
（1）若點D（0，1），過點B作BF⊥CD于F，求∠DBF的度數及四邊形ABFD的面積；
（2）若點G（G不與C重合）是動直線CD上一點，點D在點（0，1）的上方，且BG=BA，試探究∠ABG與∠ECA之間的等量關系．

Answer 1

（1）如圖1，依題意，C（1，0），OC=1．
由D（0，1），得OD=1．
在△DOC中，∠DOC=90°，OD=OC=1．可得∠CDO=45°．
∵BF⊥CD于F，
∴∠BFD=90°，
∴∠DBF=90°-∠CDO=45°．
∴FD=FB．
由D（0，1），B（0，-3），得BD=4．
在Rt△DFB中，∠DFB=90°，根據勾股定理，得
∴FD=FB=2

2

．
∴S_△BFD=

1

2

×BF•FD=

1

2

×2

2

×2

2

=4，．
而S_△ADB=

1

2

BD•AO=

1

2

×4×1=2，
四邊形ABFD的面積=4+2=6
（2）如圖2，連接BC．
∵AO=OC，BO⊥AC，
∴BA=BC．
∴∠ABO=∠CBO．
設∠CBO=α，則∠ABO=α，∠ACB=90°-α．
∵BG=BA，
∴BG=BC．
∵BF⊥CD，
∴∠CBF=∠GBF．
設∠CBF=β，則∠GBF=β，∠BCG=90°-β．
∵∠ABG=2α+2β=2（α+β），∠ECA=α+β，
∴∠ABG=2∠ECA．