Question

【題目】如圖①,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點F.

(1)請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系(不需證明);

(2)如圖②,如果∠ACB不是直角,其他條件不變,那么在(1)中所得的結論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）FE=FD （2）答案見解析

【解析】

（1）先在AC上截取AG=AE，連結FG，利用SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠AFE=∠AFG，FE=FG，再利用ASA判定△CFG≌△CFD，得到FG=FD，進而得出FE=FD；

（2）先過點F分別作FG⊥AB于點G，FH⊥BC于點H，則∠FGE=∠FHD=90°，根據已知條件得到∠GEF=∠HDF，進而判定△EGF≌△DHF（AAS），即可得出FE=FD．也可以過點F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，再判定△EFG≌△DFH（ASA），進而得出FE=FD．

（1）FE與FD之間的數量關系為：FE=FD．

理由：如圖，在AC上截取AG=AE，連結FG，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠2，

在△AEF與△AGF中

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，

∵∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，

∴2∠2+2∠3+∠B=180°，

∴∠2+∠3=60°，

又∵∠AFE為△AFC的外角，

∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°，

∴∠CFG=180°-60°-60°=60°，

∴∠GFC=∠DFC，

在△CFG與△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（ASA），

∴FG=FD，

∴FE=FD；

（2）結論FE=FD仍然成立．

如圖，過點F分別作FG⊥AB于點G，FH⊥BC于點H，則∠FGE=∠FHD=90°，

∵∠B=60°，且AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，

∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的內心，

∴∠GEF=∠BAC+∠3=∠1+∠2+∠3=60°+∠1，

∵F是△ABC的內心，即F在∠ABC的角平分線上，

∴FG=FH，

又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，

∴∠GEF=∠HDF，

在△EGF與△DHF中，

，

∴△EGF≌△DHF（AAS），

∴FE=FD．