Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點和軸上另一點，頂點的坐標(biāo)為．矩形的頂點與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．

（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將矩形以每秒個單位長度的速度從圖1所示的位置沿軸的正方向勻速平行移動，同時一動點也以相同的速度從點出發(fā)向勻速移動，設(shè)它們運動的時間為秒，直線與該拋物線的交點為(如圖2所示)．

①當(dāng)，判斷點是否在直線上，并說明理由；

②設(shè)P、N、C、D以為頂點的多邊形面積為，試問是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x；（2）點P不在直線MB上，理由見解析；②當(dāng)t=時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積有最大值，這個最大值為．

【解析】

（1）設(shè)拋物線解析式為，將代入求出即可解決問題；

（2）①由（1）中拋物線的解析式可以求出點的坐標(biāo)，從而可以求出的解析式，再將點的坐標(biāo)代入直線的解析式就可以判斷點是否在直線上．

②設(shè)出點，，可以表示出的值，根據(jù)梯形的面積公式可以表示出與的函數(shù)關(guān)系式，從而可以求出結(jié)論．

解：（1）設(shè)拋物線解析式為，

把代入解析式得，

解得，，

函數(shù)解析式為，即．

（2）①，

當(dāng)時，，

，，

，

設(shè)直線的解析式為：，則

，

解得：，

直線的解析式為：，

當(dāng)時，，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，點不在直線上．

②存在最大值．理由如下：

點在軸的非負(fù)半軸上，且在拋物線上，

．

點，的坐標(biāo)分別為、，

，

，

，

I.當(dāng)，即或時，以點，，，為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為，

，

II.當(dāng)時，以點，，，為頂點的多邊形是四邊形，

，，

，

，

，

，

時，有最大值為，

綜合以上可得，當(dāng)時，以點，，，為頂點的多邊形面積有最大值，這個最大值為．