Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋3經過點A （1，0）和點B （－3，0），與y軸交于點C，點P為第二象限內拋物線上的動點．

（1）拋物線的解析式為__________，拋物線的項點坐標為__________；

（2）如圖1，是否存在點P，使四邊形BOCP的面積為8?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接OP交BC于點D，當S△CPD∶S△BPD＝1∶2時，請求出點D的坐標；

（4）如圖3，點E的坐標為（0，－1），點G為x軸負半軸上的一點，∠OGE＝15°，連接PE，若∠PEG＝2∠OGE，請求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x22x＋3；（1，4）（2）不存在，理由見解析（3）D（1，2）（4）P（，）

【解析】

（1）設函數的表達式為：y＝a（x1）（x＋3）＝a（x2＋2x3），即可求解；

（2）利用S四邊形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝8，即可求解；

（3）S△CPD：S△BPD＝1：2，則BD＝BC＝×3＝2，即可求解；

（4）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，則∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解．

（1）函數的表達式為：y＝a（x1）（x＋3）＝a（x2＋2x3）=ax2＋bx＋3，

即：3a＝3，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x22x＋3=（x+1）2＋4，

∴頂點坐標為（1，4）

故答案為y＝x22x＋3；（1，4）；

（2）不存在，理由：

如圖1，連接BC，過點P作y軸的平行線交BC于點H，

令二次函數x=0,解得y=3

∴C（0，3）

設直線BC的解析式為：y＝kx＋b

把C（0，3），B （-3，0）代入得

解得

∴直線BC的表達式為：y＝x＋3，

設點P（x，x22x＋3），點H（x，x＋3），

則S四邊形BOCP＝S△OBC＋S△PBC＝×3×3＋（x22x＋3x3）×3＝8，

整理得：3x2＋9x＋7＝0，

解得：△＜0，故方程無解，

則不存在滿足條件的點P．

（3）∵OB＝OC，

∴∠CBO＝45°，

∴BC=

∵S△CPD：S△BPD＝1：2，

∴BD＝BC＝×3＝2，

∴yD＝BDsin∠CBO=2×＝2，代入直線BC得2＝x＋3，

解得x=-1

∴D（1，2）；

（4）如圖2，設直線PE交x軸于點H，

∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，

∴∠OHE＝45°，

∴OH＝OE＝1，

∴H（-1，0），

設直線HE的表達式為：y＝px+q

把H（-1，0），E（0，-1）代入得

解得

∴直線HE的表達式為：y＝x1，

聯立

解得：x＝（舍去正值），

故點P（，）．