Question

（本題滿分12分）在平面直角坐標系中，拋物線C：y=x+4x+4(0＜＜2)，

（1）當C與x軸有唯一交點時，求C的解析式；

（2）若=1，將拋物線C先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得拋物線C，拋物線C與x軸相交于M、N兩點（M點在N點的左邊），直線y=kx（k＞0）與拋物線C相交于P、Q（P在第三象限）且△NOQ的面積是△MOP的面積的4倍，求k的值；

（3）若A（1，y），B（0，y），C（－1，y）三點均在C上，連BC，作AE∥BC交拋物線C于E，求證：當值變化時，E點在一條直線上．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數與一元二次方程的關系，可知有兩個相等的實數根，據此求出a的值；

（2）設P（，），Q（，），得到、為方程－1=kx的兩根，∴=－1 ∴=－，=2，進而得到k=；

（3）作CD⊥y軸于D，作AQ⊥x軸于Q，作EG⊥AQ于G，則△AEG∽△BCD，設E(，) ，得到關于的等式，解得的值，即可得到點E所在的直線關系式．

試題解析：(1)拋物線C與x軸有唯一交點，即當y=0時，有兩個相等的實數根，此時，解得：a=，因為0＜＜2，所以a=1，所以拋物線C的解析式為；

（2）設P（，），Q（，），則：=－4，∴=－4，且、為方程－1=kx的兩根，∴=－1 ∴=－，=2，∴k=．

(3) 作CD⊥y軸于D，作AQ⊥x軸于Q，作EG⊥AQ于G，則△AEG∽△BCD，∴，設E(，) ，∴=a+4+4a ，=4a ，=a－4+4a，=a+4+4a，∴，∵≠1，∴=－2，即E點在直線x=－2上．

考點：二次函數與一元二次方程的關系；二次函數的綜合應用．

考點分析： 考點1：二次函數 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x 的二次函數。
①所謂二次函數就是說自變量最高次數是2;
②二次函數（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變為y=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數。
③二次函數（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個二次函數就是一個一元二次函數。 二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數的一般形式的結構特征：
①函數的關系式是整式；
②自變量的最高次數是2；
③二次項系數不等于零。 二次函數的判定：
二次函數的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數；
判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是。 試題屬性

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