Question

【題目】如圖1，拋物線y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）與x軸交于C，D兩點（點C在點D的左邊），與y軸負半軸交于點A．

如圖1，拋物線y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）與x軸交于C，D兩點（點C在點D的左邊），與y軸負半軸交于點A．

（1）若△ACD的面積為16．

①求拋物線解析式；

②S為線段OD上一點，過S作x軸的垂線，交拋物線于點P，將線段SC，SP繞點S順時針旋轉任意相同的角到SC1，SP1的位置，使點C，P的對應點C1，P1都在x軸上方，C1C與P1S交于點M，P1P與x軸交于點N．求的最大值；

（2）如圖2，直線y＝x﹣12a與x軸交于點B，點M在拋物線上，且滿足∠MAB＝75°的點M有且只有兩個，求a的取值范圍．

（1）若△ACD的面積為16．

①求拋物線解析式；

②S為線段OD上一點，過S作x軸的垂線，交拋物線于點P，將線段SC，SP繞點S順時針旋轉任意相同的角到SC1，SP1的位置，使點C，P的對應點C1，P1都在x軸上方，C1C與P1S交于點M，P1P與x軸交于點N．求的最大值；

（2）如圖2，直線y＝x﹣12a與x軸交于點B，點M在拋物線上，且滿足∠MAB＝75°的點M有且只有兩個，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②最大值為2；（2）a的取值范圍為．

【解析】

（1）①先求出點A，C，D的坐標，從而得CD＝8，OA＝12a，結合S△ACD＝16，即可求解；②根據旋轉的性質以及SAS可證：P SP1C SC1，進而證明△MSC∽△NSP1，得，設S(t，0)（0≤t≤6），可得，進而即可求解；

（2）分兩種情況討論：①當點M在y軸的左側時，此時∠MAO＝30°，求出直線AM的解析式：，進而可得點M的橫坐標，列出關于a的不等式，即可求解，②當點M在y軸的右側時，用類似的方法，求出點M的橫坐標，列出關于a的不等式，即可求解．

（1）①由題意，令y＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，

∴C(﹣2，0)，D(6，0)，

∴CD＝8．

令x＝0，解得：y＝﹣12a，且a＞0，

∴A(0，﹣12a)，即OA＝12a，

∴S△ACD＝＝48a＝16，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

②∵線段SC，SP繞點S順時針旋轉任意相同的角到SC1，SP1的位置，

∴SC= SC1，SP= SP1，∠P SP1=∠C SC1，

∴P SP1C SC1（SAS），

∴∠SP1P=∠SC1C＝∠SCC1，且∠MSC＝∠NSP1，

∴△MSC∽△NSP1，

∴，

設S(t，0)（0≤t≤6），則SP1=SP＝，SC＝t+2，

∴，

∵0≤t≤6，

∴當t＝0時，最大值為2；

（2）∵直線y＝x﹣12a與x軸交于點B，

∴B(12a，0)，OA＝OB＝12a，∠OAB＝∠OBA＝45°,

①當點M在y軸的左側時，此時∠MAO＝30°，

設直線AM與x軸交于點E，則OE＝，

∴E(，0)，

又∵A(0，﹣12a)，

∴直線AM的解析式為：，

聯立， 得：，

解得：（舍去），

∴點M的橫坐標為：，

∵＜0且a＞0，

∴0＜a＜；

②當點M在y軸的右側時，作①中直線AE關于直線AB的對稱直線，此時，直線AE的對稱直線與拋物線的交點，即為點M，過點B作x軸的垂線與直線AE關于AB的對稱直線交于點F，則△EBA≌△FBA，

∴∠BAF＝∠BAE =75°，BF＝BE＝，∠FBO＝90°，

∴F(12a，)，

∴直線AF的解析式為：，

聯立，解得：（舍去），

∴點M的橫坐標為：，

∵且a＞0，

∴a＞，

綜上所述：故要使滿足∠MAB＝75°的點M有且只有兩個，則a的取值范圍為：．