Question

（2004•淮安）已知：兩個(gè)正整數(shù)的和與積相等，求這兩個(gè)正整數(shù)．
解：不妨設(shè)這兩個(gè)正整數(shù)為a、b，且a≤b．
由題意，得ab=a+b，（*）
則ab=a+b≤b+b=2b，所以a≤2，
因?yàn)閍為正整數(shù)，所以a=1或2，
①當(dāng)a=1時(shí)，代入等式（*），得1•b=1+b，b不存在；
②當(dāng)a=2時(shí)，代入等式（*），得2•b=2+b，b=2．
所以這兩個(gè)正整數(shù)為2和2．
仔細(xì)閱讀以上材料，根據(jù)閱讀材料的啟示，思考是否存在三個(gè)正整數(shù)，它們的和與積相等試說(shuō)明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出3個(gè)正整數(shù)，得到等量關(guān)系abc=a+b+c，根據(jù)a≤b≤c，得到ab≤3，再判斷出a，b，c的整數(shù)值即可．
解答：解：假設(shè)存在三個(gè)正整數(shù)，它們的和與積相等，
不妨設(shè)這三個(gè)正整數(shù)為a、b、c，且a≤b≤c，則abc=a+b+c（※）
所以abc=a+b+c≤c+c+c=3c，所以ab≤3，
若a≥2，則b≥a≥2，所以ab≥4，與ab≤3矛盾．
因此a=1，b=1或2或3，
①當(dāng)a=1，b=1時(shí)，代入等式（※）得1+1+c=1•1•c，c不存在．
②當(dāng)a=1，b=2時(shí)，代入等式（※）得1+2+c=1•2•c，c=3．
③當(dāng)a=1，b=3時(shí)，代入等式（※）得1+3+c=1•3•c，c=2，與b≤c矛盾，舍去．
所以a=1，b=2，c=3，因此假設(shè)成立，即存在三個(gè)正整數(shù)，它們的和與積相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用類(lèi)比法求解．注意仿照所給范例的做法，分別設(shè)這三個(gè)正整數(shù)為a、b、c，且a≤b≤c，再根據(jù)題例進(jìn)行證明即可．此類(lèi)題目比較簡(jiǎn)單，考查了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力．