Question

（2004•淮安）已知：二次函數y=x²-mx-4．
（1）求證：該函數的圖象一定與x軸有兩個不同的交點；
（2）設該函數的圖象與x軸的交點坐標為（x₁，0）、（x₂，0），且，求m的值，并求出該函數圖象的頂點坐標．

Answer 1

【答案】分析：判斷二次函數y=x²-mx-4的圖象與x軸的交點情況，相當于求方程x²-mx-4=0的判別式符號，本題就是要證明△＞0；
二次函數圖象與x軸的兩交點的橫坐標x₁，x₂也就是方程x²-mx-4=0的兩根，可運用根與系數關系解題．
解答：解：（1）因為△=m²+16＞0，所以一元二次方程x²-mx-4=0有兩個不相等的實數根，
因而函數y=x²-mx-4的圖象一定與x軸有兩個不同的交點；

（2）因為該函數的圖象與x軸的兩個交點坐標分別為（x₁，0）、（x₂，O），
所以x₁，x₂是方程x²-mx-4=0的兩個實數根，
所以x₁+x₂=m，x₁•x₂=-4．
由得，
因此m=4．
所以二次函數的解析式為y=x²-4x-4=（x-2）²-8，因此頂點坐標為（2，-8）．
點評：主要考查了二次函數的圖象性質與一元二次方程根與系數之間的關系，以及求圖象的頂點坐標．這些性質和根與系數關系的變形要求掌握．