Question

（2004•淮安）已知：如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交△ABC的外接圓⊙O于點D，交BC于點G．
（1）連接CD，若AG=4，DG=2，求CD的長；
（2）過點D作EF∥BC，分別交AB、AC的延長線于點E、F．求證：EF與⊙O相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證△CGD∽△ACD，得出AG、GD、CD的對應比例關系，即可求出CD的長；
（2）連接OD，證OD⊥EF即可．
解答：（1）解：∵AD平分∠BAC
∴∠DAB=∠DAC
∵∠DAB和∠DCB對同弧
∴∠DAB=∠DCB，
即∠DCG=∠DAB
∴△ACD∽△CGD，
∴
∴CD²=DG•DA=2•（2+4）=12
∴CD=2；

（2）證明：連接OD，
∵∠DAC=∠DAB
∴D為弧BC的中點
∴OD⊥BC
∵BC∥EF
∴OD⊥EF
∴EF與⊙O相切．
點評：本題主要考查了圓周角定理、切線的判定、垂徑定理、相似三角形的判定和性質等知識點．