Question

【題目】數學復習課上，張老師出示了下框中的問題：

已知：在Rt△ACB中，∠C＝90°，點D是斜邊AB上的中點，連接CD.

求證：CD＝AB.

問題思考

（1）經過獨立思考，同學們想出了多種正確的證明思想，其中有位同學的思路如下：如圖1，過點B作BE∥AC交CD的延長線于點E。請你根據這位同學的思路提示證明上述框中的問題.

方法遷移

（2）如圖2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，點E是線段AC上一動點，連接DE，線段DF始終與DE垂直且交BC于點F。試猜想線段AE，EF，BF之間的數量關系，并加以證明.

拓展延伸

（3）如圖3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，點E是線段AC延長線上一動點，連接DE，線段DF始終與DE垂直且交CB延長線于點F。試問第（2）小題中線段AE，EF，BF之間的數量關系會發生改變嗎？若會，請寫出關系式；若不會，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）CD=AB；（2）AE2+BF2=EF2；(3)線段AE、EF、FB的數量關系不會發生改變，仍有AE2+BF2=EF2.

【解析】分析：（1）證ΔACD≌ΔBED和△ACB≌△EBC得證；

（2）如圖2，過B作BG∥AC交ED延長線于G，連接GF.通過證ΔADE≌ΔBDG和在Rt△BFG中，得到AE2+BF2=EF2.

（3）如圖3，過A作AG//BC交FD的延長線于點G，連接EG，類似（2）問，通過證ΔADG≌ΔBDF，將AE、BF、EF移至Rt△AEG中，可得AE2+BF2=EF2.

詳解：(1)證明:∵在⊿ABC中，∠C=90°，D是斜邊AB中點，

過B作BE//AC交CD延長線于E，

∴∠CAB=∠ABE, ∠ACE=∠BEC，

∴⊿ADC∽⊿BDE，∴D為CE中點，

∵∠CAB+∠CBA=90°，∠ABE+∠CBA=90°，

∴⊿ABC≌⊿ECB，AB=CE，

∴CD=AB.

(2)證明:過B作BG//AC交ED延長線于G，連接GF.

∴∠EAD=∠GBD，又∠EDA=∠GDB，AD=DB，

∴ΔAED≌ΔBDG，∴AE=BG，DE=DG，

又∵DF⊥DE，∴DF是EG中垂線，EF=GF，

∵∠C=90，∠GBF=90，∴BF2+BG2=GF2;

∴AE2+BF2=EF2.

(3)線段AE、EF、FB的數量關系不會發生改變，仍有AE2+BF2=EF2.

證明:如圖3，過A作AG//BC交FD的延長線于點G，連接EG，

∵AG//BC，∴∠GAD＝∠DBF，∠AGD＝∠DFB，

∵點D為AB的中點，∴AD＝DB，

∴⊿ADG≌⊿BDF，∴AG=BF，GD＝DF，

∵DE⊥DF，∴EF＝EG，

∵AG//BC，∠EAG＝∠ACB＝90°，

∴AE2＋AG2＝EG2，

∴AE2+BF2=EF2.