Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如果BC=8，AB=5，求CE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD．
∵OD=OB（⊙O的半徑），
∴∠B=∠ODB（等邊對等角）；
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等邊對等角）；
∴∠C=∠ODB（等量代換），
∴OD∥AC（同位角相等，兩直線平行），
∴∠ODE=∠DEC（兩直線平行，內錯角相等）；
∵DE⊥AC（已知），
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；

（2）連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
∴AD⊥CD；
在Rt△ACD和Rt△DCE中，
∠C=∠C（公共角），
∠CED=∠CDA=90°，
∴Rt△ACD∽Rt△DCE（AA），
∴

CE

CD

=

DC

AC

；
又由（1）知，OD∥AC，O是AB的中點，
∴OD是三角形ABC的中位線，
∴CD=

1

2

BC；
∵BC=8，AB=5，AB=AC，
∴CE=

16

5

．