Question

已知：∠MAN=60°，點B在射線AM上，AB=4（如圖）．P為直線AN上一動點，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點B，P，Q按順時針排列），O是△BPQ的外心．
（1）當點P在射線AN上運動時，求證：點O在∠MAN的平分線上；
（2）當點P在射線AN上運動（點P與點A不重合）時，AO與BP交于點C，設AP=x，AC•AO=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）若點D在射線AN上，AD=2，圓I為△ABD的內切圓．當△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時，請直接寫出點A與點O的距離．

Answer 1

（1）證明：如圖1，連接OB，OP．
∵O是等邊三角形BPQ的外心，
∴圓心角∠BOP=

360°

3

=120°．
當∠MAN=60°，不垂直于AM時，作OT⊥AN，則OB=OP．
由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°，且∠A=60°，∠AHO=∠ATO=90°，
∴∠HOT=120度．
∴∠BOH=∠POT．
∴Rt△BOH≌Rt△POT．
∴OH=OT．
∴點O在∠MAN的平分線上．
當OB⊥AM時，∠APO=360°-∠A-∠BOP-∠OBA=90°．
即OP⊥AN，
∴點O在圓I的平分線上．
綜上所述，當點P在射線AN上運動時，點O在∠MAN的平分線上．

（2）如圖2，
∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°，
∴∠BAO=∠PAO=30°．
由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°，
∴∠CBO=30°，
∴∠CBO=∠PAC．
∵∠BCO=∠PCA，
∴∠AOB=∠APC．
∴△ABO∽△ACP．
∴

AB

AC

=

AO

AP

．
∴AC•AO=AB•AP．
∴y=4x．
定義域為：x＞0．

（3）①如圖3，當BP與圓I相切時，AO=2

3

；
②如圖4，當BP與圓I相切時，AO=

4

3

3

；
③如圖5，當BQ與圓I相切時，AO=0．