Question

如圖所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，點P是△ABC的外角∠BCN的角平分線上一個動點，點P′是點P關于直線BC的對稱點，連結PP′交BC于點M，BP′交AC于D，連結BP、AP′、CP′．
（1）若四邊形BPCP′為菱形，求BM的長；
（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的長；
（3）若△ABD為等腰三角形，求△ABD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由菱形的性質可知，點M為BC的中點，所以BM可求；
（2）△ABC為等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，則△BMP′必為等腰直角三角形．證明△BMP′、△BMP、△BPP′均為等腰直角三角形，則BP=BP′；證明△BCP為等腰三角形，BP=BC，從而BP′=BC=4，進而求出BM的長度；
（3）△ABD為等腰三角形，有3種情形，需要分類討論計算．
解答：解：（1）∵四邊形BPCP′為菱形，而菱形的對角線互相垂直平分，
∴點M為BC的中點，
∴BM=BC=×4=2．

（2）△ABC為等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，
則△BMP′必為等腰直角三角形，BM=MP′．
由對稱軸可知，MP=MP′，PP′⊥BC，則△BMP為等腰直角三角形，
∴△BPP′為等腰直角三角形，BP′=BP．
∵∠CBP=45°，∠BCP=（180°-45°）=67.5°，
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BP=BC=4，
∴BP′=4．
在等腰直角三角形BMP′中，斜邊BP′=4，
∴BM=BP′=．

（3）△ABD為等腰三角形，有3種情形：
①若AD=BD，如題圖②所示．
此時△ABD為等腰直角三角形，斜邊AB=4，
∴S_△ABD=AD•BD=××=4；
②若AD=AB，如下圖所示：

過點D作DE⊥AB于點E，則△ADE為等腰直角三角形，
∴DE=AD=AB=
∴S_△ABD=AB•DE=×4×=；
③若AB=BD，則點D與點C重合，可知此時點P、點P′、點M均與點C重合，
∴S_△ABD=S_△ABC=AB•BC=×4×4=8．
點評：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的性質、等腰直角三角形、等腰三角形、菱形、勾股定理等知識點，難度不大．第（3）問考查了分類討論的數學思想，是本題的難點．