Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC．

(1)如圖1，若O為AB的中點，以O為圓心，OB為半徑作⊙O交BC于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．

①試說明：BD=CD；

②判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由．

(2)如圖2，若點O沿OB向點B移動，以O為圓心，以OB為半徑作⊙O與AC相切于點F，與AB相交于點G，與BC相交于點D，DE⊥AC，垂足為E，已知⊙O的半徑長為4，CE=2，求切線AF的長．

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②直線DE與⊙O相切，理由見解析；(2)AF=3．

【解析】

（1）①連接AD，已知AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角即可得∠ADB=90°，即AD⊥BC；再由等腰三角形三線合一的性質即可證得結論；（2）直線DE與⊙O相切，連接OD，已知AB=AC、OB=OD，根據等腰三角形的性質可得∠ODB=∠B=∠C，即可判定OD∥BC，由DE⊥AC可得DE⊥OD，由此即可判定DE與⊙O相切；（2）根據已知條件易證四邊形ODEF是矩形，即可得OD=EF=4；設AF=x，則AB=AC=x+6，AO =x+2，在Rt△AOF中，利用勾股定理列出方程（x+2）2=x2+42，解方程求得x的值，即可求得AF的長.

(1)①連接AD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD；

②直線DE與⊙O相切，

理由：連接OD，

∵AB=AC，OB=OD，

∴∠ODB=∠B=∠C，

∴OD∥BC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE與⊙O相切；

(2)由(1)同理得，DE與⊙O相切，

連接OF，

∵EF與⊙O相切，DE⊥AC，

∴∠ODE=∠OFE=∠EDF=90°，即四邊形ODEF是矩形，

∴OD=EF=4，

設AF=x，則AB=AC=x+6，AO=x+6﹣4=x+2，

在Rt△AOF中，

（x+2）2=x2+42，

解得，x=3，

即AF=3．