Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+b與坐標軸交于C，D兩點，直線AB與坐標軸交于A，B兩點，線段OA，OC的長是方程x2﹣3x+2=0的兩個根（OA＞OC）．

（1）求點A，C的坐標；

（2）直線AB與直線CD交于點E，若點E是線段AB的中點，反比例函數y=（k≠0）的圖象的一個分支經過點E，求k的值；

（3）在（2）的條件下，點M在直線CD上，坐標平面內是否存在點N，使以點B，E，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），C（1，0）;（2）k=﹣2;(3)存在，點N的坐標為（﹣，4+）、（，4﹣）或（，）．

【解析】分析：（1）利用分解因式法解一元二次方程x-3x+2=0即可得出OA、OC的值，再根據點所在的位置即可得出A、C的坐標；（2）根據點C的坐標利用待定系數法即可求出直線CD的解析式，根據點A、B的橫坐標結合點E為線段AB的中點即可得出點E的橫坐標，將其代入直線CD的解析式中即可求出點E的坐標，再利用待定系數法即可求出k值；（3）假設存在，設點M的坐標為（m，-m+1），分別以BE為邊、BE為對角線來考慮，根據菱形的性質找出關于m的方程，解方程即可得出點M的坐標，再結合點B、E的坐標即可得出點N的坐標.

本題解析：（1）x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，

∴x1=1，x2=2，

∵OA＞OC，

∴OA=2，OC=1，

∴A（﹣2，0），C（1，0）．

（2）將C（1，0）代入y=﹣x+b中，

得：0=﹣1+b，解得：b=1，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+1．

∵點E為線段AB的中點，A（﹣2，0），B的橫坐標為0，

∴點E的橫坐標為﹣1．

∵點E為直線CD上一點，

∴E（﹣1，2）．

將點E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，

得：2=，解得：k=﹣2．

3.假設存在，

設點M的坐標為（m，﹣m+1），

以點B，E，M，N為頂點的四邊形是菱形分兩種情況（如圖所示）：

①以線段BE為邊時，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E為線段AB的中點，

∴B（0，4），

∴BE=AB= ．

∵四邊形BEMN為菱形，

∴EM= =BE=，

解得：m1=，m2=

∴M（，2+）或（，2﹣），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（﹣，4+）或（，4﹣）；

②以線段BE為對角線時，MB=ME，

∴，

解得：m3=﹣ ，

∴M（﹣， ），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（ ， ）．

綜上可得：坐標平面內存在點N，使以點B，E，M，N為頂點的四邊形是菱形，點N的坐標為（﹣，4+）、（，4﹣）或（ ， ）．